Question

（2006•松江区模拟）（理）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积．已知函数y=sinnx在[0，

π

n

]上的面积为

2

n

(n∈N*)，则函数y=cos3x+1在[0，

5π

6

]上的面积为

5π+2

6

．

Answer 1

分析：将y=cos3x+1化成y=sin（3x+

π

2

）+1，令t=x+

π

6

，则y=sin3t+1．t∈[

π

6

，π]．函数y=sinnx与函数y=sin3t类比，可以得出函数y=sin3t在[0，

π

3

]上的面积为

2

3

，在[0，

π

6

]上的面积为在[0，

π

3

]上的面积的一半，等于

1

3

．再结合图象，准确地利用已知数据表示出阴影面积并计算即可．

解答：解：y=cos3x+1=sin（3x+

π

2

）+1，令t=x+

π

6

，则y=sin3t+1．t∈[

π

6

，π]
在函数y=sinnx中，令n=3，得出函数y=sin3x在[0，

π

3

]上的面积为

2

3

．在[0，

π

6

]上的面积为在[0，

π

3

]上的面积的一半，等于

1

3

．
 
 
函数y=cos3t+1图象由y=sin3t图象向上平移一个1个单位得到．
阴影部分面积为

1

3

+(1×

5π

6

-

2

3

)+

2

3

  =

5π+2

6

故答案为：

5π+2

6

．

点评：本题考查不规则图象的面积求解，要充分利用已知信息，将所求问题进行转化．本题首先将函数名称由余弦化成正弦，再进行换元，以满足已知信息模型，在具体求解时，将不规则部分利用规则部分与已知数值表示．