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【题目】已知椭圆:的右焦点为,过点的直线(不与轴重合)与椭圆相交于两点,直线轴相交于点,过点,垂足为D.

1)求四边形为坐标原点)面积的取值范围;

2)证明直线过定点,并求出点的坐标.

【答案】(1);(2)证明见解析,

【解析】

1)由题意设直线AB的方程,代入椭圆整理得纵坐标之和与之积,将四边形的面积分成2个三角形,根据底相同,列出关于面积的函数式,再结合均值不等式可得面积的取值范围;

2)由(1)得BD的坐标,设直线BD 的方程,令纵坐标为零得横坐标是定值,即直线BD过定点.

1)由题F1,0),设直线AB

联立,消去x,得

因为

所以四边形OAHB的面积

因为(当且仅当t=1m=0时取等号),所以

所以四边形OAHB的面积取值范围为

2,所以直线BD的斜率,所以直线BD的方程为

y=0,可得

由(1)可得

化简①可得

则直线BD过定点.

练习册系列答案
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【题目】在平面直角坐标系中已知椭圆过点,其左、右焦点分别为,离心率为.

1)求椭圆E的方程;

2)若AB分别为椭圆E的左、右顶点,动点M满足,且MA交椭圆E于点P.

i)求证:为定值;

ii)设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q,问:直线MQ是否过定点,并说明理由.

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【题目】如图,在中,,且D的中点.

(1)的值;

(2)的角平分线E,求的面积.

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【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,且的中点,延长于点,且在底内的射影恰为的中点的中点,上任意一点.

1)证明:平面平面

2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

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【题目】如图,在边长为的正方形中,线段BC的端点分别在边上滑动,且,现将分别沿ABAC折起使点重合,重合后记为点,得到三被锥.现有以下结论:

平面

②当分别为的中点时,三棱锥的外接球的表面积为

的取值范围为

④三棱锥体积的最大值为.

则正确的结论的个数为( )

A.B.C.D.

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【题目】在平面直角坐标系中,已知是曲线上的动点,将绕点顺时针旋转得到,设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

1)求曲线的极坐标方程;

2)在极坐标系中,点,射线与曲线分别相交于异于极点两点,求的面积.

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【题目】已知四棱锥中,底面四边形为平行四边形,的中点,上一点,且(如图).

1)证明:平面

2)当平面平面时,求三棱锥的体积.

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【题目】已知椭圆的离心率,且圆经过椭圆C的上、下顶点.

1)求椭圆C的方程;

2)若直线l与椭圆C相切,且与椭圆相交于MN两点,证明:的面积为定值(O为坐标原点).

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【题目】已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线与椭圆在第一象限内的交点是,点轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,椭圆另一个焦点是,且.

(1)求椭圆的方程;

(2)直线过点,且与椭圆交于两点,求的内切圆面积的最大值.

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