Question

18．设{a_n}（n∈N^*）是等差数列，且a₅=10，a₁₀=20．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求数列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=10\\{a_1}+9d=20\end{array}\right.$，从而求通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S_n}=\frac{{n（{2+2n}）}}{2}={n^2}+n$，从而可得$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，从而求数列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=10\\{a_1}+9d=20\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=2\end{array}\right.$，
∴${a_n}={a_1}+（n-1）d=2n（n∈{N^*}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S_n}=\frac{{n（{2+2n}）}}{2}={n^2}+n$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式的求法及裂项求和法求前n项和T_n，属于中档题．