Question

已知x，y是实数，且x²+y²-4x-6y+12=0．求
（1）

y

x

的最值；
（2）x²+y²的最值；
（3）x+y的最值；
（4）x-y的最值．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：x²+y²-4x-6y+12=0化为（x-2）²+（y-3）²=1，可得圆心C（2，3），半径r=1．
（1）设

y

x

=k，可得y=kx，由

|2k-3|

k2+1

≤1，解得即可．
（2）设P（x，y）是圆上的任意一点，|OP|²=x²+y²．由于|OC|=

22+32

=

13

，可得|OC|-r≤|OP|≤|OC|+r．
（3）令x+y=t，由

|2+3-t|

2

=1，解得即可得出．
（4）令x-y=s，由

|2-3-s|

2

=1，解得即可得出．

解答： 解：x²+y²-4x-6y+12=0化为（x-2）²+（y-3）²=1，可得圆心C（2，3），半径r=1．
（1）设

y

x

=k，可得y=kx，由

|2k-3|

k2+1

≤1，解得

6-2 3

3

≤k≤

6+2 3

3

．
∴

y

x

的最大值与最小值分别为：

6+2 3

3

，

6-2 3

3

；
（2）设P（x，y）是圆上的任意一点，|OP|²=x²+y²．
∵|OC|=

22+32

=

13

，
∴

13

-1≤|OP|≤

13

+1，
∴14-2

13

≤x2+y2≤14+2

13

．
（3）令x+y=t，由

|2+3-t|

2

=1，解得t=5±

2

，
∴x+y的最大值与最小值分别为：5+

2

，5-

2

．
（4）令x-y=s，由

|2-3-s|

2

=1，解得s=-1±

2

，
∴x+y的最大值与最小值分别为：

2

-1，-1-

2

．

点评：本题考查了圆的标准方程及直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．