Question

19．已知顶点在原点，焦点F在x轴上的抛物线过点A（9，6）．
（1）求抛物线方程；
（2）M是该抛物线异于A的一点，且M在第一象限，满足FA⊥FM，延长AM交x轴于点B，求△MFB的面积．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），代入A，求出p，即可求抛物线方程；
（2）求出M的坐标，可得直线AM的方程，求出B的坐标，即可求△MFB的面积．

解答 解：（1）设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
∵点A（9，6），代入可得36=18p，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（2）F（1，0），∴k_AF=$\frac{6-0}{9-1}$=$\frac{3}{4}$，
∴k_MF=-$\frac{4}{3}$，
∴直线MF的方程为y=-$\frac{4}{3}$（x-1），
与y²=4x联立可得y²+3y-4=0
∵M在第一象限，∴y=1，
∴M（$\frac{1}{4}$，1），
∴直线AM的方程为y-6=$\frac{5}{9-\frac{1}{4}}$（x-9），即4x-7y+6=0，
令y=0，可得x=-$\frac{3}{2}$，
∴△MFB的面积S=$\frac{1}{2}×（1+\frac{3}{2}）×1$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．