【题目】已知抛物线C:y2=x,过点M(2,0)作直线l:x=ny+2与抛物线C交于A,B两点,点N是定直线x=﹣2上的任意一点,分别记直线AN,MN,BN的斜率为k1 , k2 , k3 .
(1)求 的值;
(2)试探求k1 , k2 , k3之间的关系,并给出证明.
【答案】
(1)解:设A(x1,y1)、B(x2,y2)
由 可得 y2﹣ny﹣2=0
由韦达定理可得 y1+y2=n,y1y2=﹣2
∴ =x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=4﹣2=2,
(2)解:当n=0时,A(2, )、
不妨取N(﹣2,2),则k1= ,k2= ,k3=
易得k1+k3=2k2.
设N(﹣2,y0),k2=﹣
k1+k3= + = = =﹣ =2k2
∴k1+k3=2k2,k1,k2,k3成等差数列.
【解析】(1)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),由 可得y2﹣ny﹣2=0,再由韦达定理得 的值;(2)三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,证明k1+k3=2k2即可.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四面体A′﹣BCD的体积为
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【题目】函数y=f(x)定义域是D,若对任意x1 , x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数,设函数y=f(x)在[0,1]上为非减函数,满足条件:①f(0)=0;②f( )= f(x);③f(1﹣x)=1﹣f(x);则f( )+f( )= .
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【题目】非空集合G关于运算⊕满足:
⑴对任意a,b∈G,都有a+b∈G;
⑵存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a,
则称G是关于运算⊕的融洽集,
现有下列集合与运算:
①G是非负整数集,⊕:实数的加法;
②G是偶数集,⊕:实数的乘法;
③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;
④G={x|x=a+b ,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;
其中属于融洽集的是(请填写编号)
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【题目】椭圆 的离心率为 ,右焦点到直线 的距离为 ,过M(0,﹣1)的直线l交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l交x轴于N, ,求直线l的方程.
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【题目】已知双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2 , P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则 等于( )
A.24
B.48
C.50
D.56
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【题目】二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
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