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过点P(1,2)引直线,使A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,则此直线方程为(  )
分析:(法一)当所求的直线与AB平行时,斜率可求,用点斜式求出直线方程,当所求的直线过AB的中点时,由两点式求出直线的方程.
(法二)设直线方程为k(x-1)-y+2=0即kx-y+2-k=0,由A(2,3),B(4,-5)到直线的距离相等,可得
|2k-3+2-k|
1+k2
=
|4k+5+2-k|
1+k2

,可求k,进而可求直线方程
解答:解:由题意可得所求的直线与AB平行,或所求的直线过AB的中点.
当所求的直线与AB平行时,斜率为k=
3+5
2-4
=-4,故方程为 y-2=-4(x-1),化简可得4x+y-6=0.
当所求的直线过AB的中点(3,-1)时,由两点式求出直线的方程为
y+1
2+1
=
x-3
1-3
,即 3x+2y-7=0.
(法二)设直线方程为k(x-1)-y+2=0即kx-y+2-k=0
因为A(2,3),B(4,-5)到直线的距离相等,
所以
|2k-3+2-k|
1+k2
=
|4k+5+2-k|
1+k2

||k-1|=|3k+7|
k-1=3k+7 或k-1=-(3k+7)
所以 k=-4 或k=-
3
2

所以所求的直线方程为:y-2=-4(x-1)或y-2=-
3
2
(x-1)
即4x+y-6=0 或3x+2y-7=0
故选D
点评:本题考查用点斜式、两点式求直线方程的方法,体现了分类讨论的数学思想,判断所求的直线与AB平行,或所求的直线过AB的中点,是解题的关键.
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