Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，且F₂（1，0），O为坐标原点，点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）为椭圆C上的点．
（1）求C的方程：
（2）平面上的点N满足$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，直线1平行于MN且与椭圆C交于A、B两点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C的半焦距c=1，点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）为椭圆C上的点，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C的方程；
（2）先利用$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即可求出直线l的方程．

解答 解：（1）由题意，椭圆C的半焦距c=1，点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）为椭圆C上的点，
于是$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+1}\end{array}\right.$
消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=$\frac{1}{3}$不合题意，舍去）．
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$知四边形MF₁NF₂是平行四边形，其中心为坐标原点O，
因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，
故l的斜率k=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{6}$．设l的方程为y=$\sqrt{6}$（x-m）．
与椭圆方程联立，消去y并化简得9x²-16mx+8m²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{16m}{9}$，x₁x₂=，$\frac{8{m}^{2}-4}{9}$．
因为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6（x₁-m）（x₂-m）=7x₁x₂-6m（x₁+x₂）+6m²
=7•$\frac{16m}{9}$-6m•$\frac{16m}{9}$+6m²
=$\frac{1}{9}（14{m}^{2}-28）$=0．
所以m=$±\sqrt{2}$．此时△=（16m）²-4×9（8m²-4）＞0，
故所求直线l的方程为y=$\sqrt{6}$x$±2\sqrt{3}$．

点评 本题是对直线与椭圆位置关系的综合考查．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．