Question

如图所示，在直三棱柱中，，为的中点．

(Ⅰ) 若AC₁⊥平面A₁BD，求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，设AB＝1，求三棱锥的体积．

Answer 1

（I）通过证明“线线垂直”，得到“线面垂直”，⊥面，得到．
又在直棱柱中，，得到⊥平面．
（II）三棱锥的体积.

试题分析：（I）（I）通过证明“线线垂直”，得到“线面垂直”，⊥面，得到．
又在直棱柱中，，得到⊥平面．
（II）为确定三棱锥的体积，应注意明确“底面”“高”，注意遵循“一作，二证，三计算”的解题步骤.通过证明“平面”．明确就是三棱锥的高．
解答此类问题，容易出现的错误是忽视证明，利用直观感觉确定高.
试题解析：（I）直三棱柱中，∵，∴四边形为正方形，
∴，
又∵面，∴，∴⊥面，∴．
又在直棱柱中，，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
（II）∵，为的中点，∴．
∴平面．
∴就是三棱锥的高．
由（I）知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴平面ABB₁A₁．
∴．∴是直角等腰三角形．
又∵，∴，
∴，
∴三棱锥的体积.