Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，2cosx），$\overrightarrow{b}$=（5$\sqrt{3}$cosx，cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$|²-$\frac{7}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{12}$）时，f（x）=-3，求cos2x的值；
（3）若cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积运算建立关系，求解f（x），利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期
（2）根据x∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{12}$）时，出内层函数的取值范围，f（x）=-3，化简f（x），可求cos2x的值．
（3）根据cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），确定x的范围，利用数形结合法作f（x）=m有且仅有一个实根，可得答案．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{a}$|²-$\frac{7}{2}$．
可得：f（x）=$5\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x-$\frac{7}{2}$
=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+3+3cos2x$-\frac{7}{2}$
=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{5}{2}$cos2x
=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（2）当x∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{12}$）
可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{3π}{2}$，2π]
∵f（x）=-3，即5sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-3
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$-\frac{3}{5}$
∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$
∴cos2x=cos[（2x$+\frac{π}{6}$）$-\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$
（3）由题意∵cosx≥$\frac{1}{2}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴x∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∵f（x）=m有且仅有一个实根，即函数f（x）与y=m的图象只有一个交点．
f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]
令2x+$\frac{π}{6}$=t，则t∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，那么f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）转化为g（t）=5sint与y=m的图象只有一个交点．
，g（t）=5sint图象如下：

从图象可看出：当-5≤m$＜\frac{5}{2}$或m=5时，函数y=m与g（t）=5sint只有一个交点．
故得实数m的取值范围是{m|-5≤m$＜\frac{5}{2}$或m=5}

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．