Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求证：EF⊥B₁C．

Answer 1

分析：（I）欲证EF∥平面ABC₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC₁D₁内一直线平行即可，连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则EF∥D₁B，而D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，满足定理所需条件；
（II）欲证EF⊥B₁C，可先证B₁C⊥面ABC₁D₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证B₁C与面ABC₁D₁内两相交直线垂直，而B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，满足定理条件，问题即可得证．

解答：证明：（Ⅰ）连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则

EF∥D1B D1B?平面ABC1D1 EF不包含于平面ABC1D1

?EF∥平面ABC₁D₁；

（Ⅱ）根据题意可知：

B1C⊥AB B1C⊥BC1 AB，B1C?平面ABC1D1 AB∩BC1=B

?

B1C⊥面ABC1D1 BD1?面ABC1D1

?

B1C⊥BD1 EF∥BD1

?EF⊥B₁C．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．