【题目】如图,矩形垂直于直角梯形,,为中点,,.
(1)求证:∥平面;
(2)线段上是否存在点,使与平面所成角的正切值为?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在;
【解析】
(1)连接PC,与DE交与点N,连接FN,可证出FN∥AC,再利用线面平行的判定定理即可证出.
(2)存在,Q为EF的中点,过F作FM⊥AD与M,连接MC,取MC的中点G,连接QG,由题中条件,求出,连接CQ,可得∠QCG为直线CQ与平面ABCD所成的角,在中,即可求解.
(1)连接PC,与DE交与点N,连接FN
在三角形PAC中,FN为中位线,所以FN∥AC,
平面,平面
所以,AC∥平面DEF
(2)存在,Q为EF的中点.
过F作FM⊥AD与M,连接MC,取MC的中点G,连接QG
在三角形中,由条件可知,,
在梯形,为中位线,所以
连接CQ,则∠QCG为直线CQ与平面ABCD所成的角,
,所以存在点Q满足条件,
.
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【题目】某公司为了激励业务员的积极性,对业绩在60万到200万的业务员进行奖励奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随着业绩值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%.
(1)若某业务员的业绩为100万核定可得4万元奖金,若该公司用函数(k为常数)作为奖励函数模型,则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励?(已知,)
(2)若采用函数作为奖励函数模型试确定最小的正整数a的值.
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【题目】某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过的包裹收费10元,重量超过的包裹,除收费10元之外,超过的部分,每超出(不足,按计算)需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数;
(2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润,剩余的作为其他费用.已知该网点有工作人员3人,每人每天工资100元,以样本估计总体,试估计该网点每天的利润有多少元?
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【题目】一次数学考试后,对高三文理科学生进行抽样调查,调查其对本次考试的结果满意或不满意,现随机抽取名学生的数据如下表所示:
满意 | 不满意 | 总计 | |
文科 | 22 | 18 | 40 |
理科 | 48 | 12 | 60 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
(1)根据数据,有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关;
(2)用分层抽样方法在感觉不满意的学生中随机抽取名,理科生应抽取几人;
(3)在(2)抽取的名学生中任取2名,求文科生人数的期望.(其中)
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知的顶点坐标分别是,的外接圆为.
(1)求圆的方程;
(2)在圆上是否存在点,使得?若存在,求点的个数:若不存在,说明理由;
(3)在圆上是否存在点,使得?若存在,求点的个数:若不存在,说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与曲线直角坐标方程;
(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.
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【题目】已知椭圆C:的离心率为,且经过点M(1,).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l不过点P(0,1),与椭圆C交于A、B两点,记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2,且满足k1+k2=1,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.
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