Question

【题目】已知函数f（x）=（4﹣x）ex﹣2 ， 试判断是否存在m使得y=f（x）与直线3x﹣2y+m=0（m为确定的常数）相切？

Answer 1

【答案】解：函数f（x）=（4﹣x）ex﹣2 ， 导数为f′（x）=（3﹣x）ex﹣2 ，
设g（x）=（3﹣x）ex﹣2 ， 则g'（x）=（2﹣x）ex﹣2 ，
由x＞2时，g'（x）＜0，g（x）递减；x＜2时，g'（x）＞0，g（x）递增．
可推得g（x）极大值为g（2）=1，也为最大值．
假设y=f（x）与直线3x﹣2y+m=0（m为确定的常数）相切，
则切线的斜率为 ，
由于切线的斜率的最大值为1．
所以 无解．
所以不存在m满足题意．
【解析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，设g（x）=（3﹣x）ex﹣2 ， 求出导数和单调区间，可得极值也为最值，假设存在m满足题意，由直线方程可得斜率大于最值，即可判断不存在．