Question

命题p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根．
命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．若命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

解答：解：若方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根，则

△=1-4(a2-6a)＞0 x1x2=a2-6a＜0

，解得0＜a＜6．
即p：0＜a＜6．
若函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．则判别式△≥0，
即（a-3）²-4≥0，解得a≥5或a≤1．
即q：a≥5或a≤1．
命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，
则命题p，q为一真，一假．
若p真q假，则1＜a＜5．
若p假q真，则a≥6或a≤0．
综上实数a的取值范围是a≥6或a≤0或1＜a＜5．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．