Question

A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ） 求角A；
（Ⅱ） 若a=2

3

，三角形面积S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则化简

m

•

n

=

1

2

，利用二倍角的余弦函数公式变形后得到cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的A的度数求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出面积，让面积等于

3

，即可求出bc的值，再根据余弦定理表示出a²，由a、cosA及bc的值即可求出b+c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

•

n

=

1

2

．
∴-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

即-cosA=

1

2

，又A∈（0，π），
∴A=

2π

3

．（6分）
（Ⅱ）S△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

bc•sin

2

3

π=

3

，
∴bc=4．又a=2

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccos

2π

3

=b²+c²+bc，
∴16=（b+c）²，
故b+c=4．（12分）

点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则，灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道中档题．