Question

已知圆C经过A（3，2）、B（4，3）两点，且圆心在直线y=2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l经过点P（-1，3）且与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，r＞0，，依题意得：

(3-a)2+(2-b)2=r2 (4-a)2+(3-b)2=r2 b=2a

，解出待定系数，可得圆 C的方程．
（2）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径解出k值，从而得到直线l的方程．

解答：解：（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，r＞0，，依题意得：

(3-a)2+(2-b)2=r2 (4-a)2+(3-b)2=r2 b=2a

，
解得 a=2，b=4，r=

5

．所以，圆 C的方程为 （x-2）²+（y-4）²=5．

（2）由于直线l经过点P（-1，3），
当直线l的斜率不存在时，x=-1与圆C （x-2）²+（y-4）²=5 相离．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为 y-3=k（x+1），即：kx-y+3=0．
因为直线l与圆相切，且圆的圆心为（2，4），半径为

5

，所以，有
 

|2k-4+k+3|

k2+1

=

5

．  解得 k=2 或 k=-

1

2

．
所以，直线l的方程为 y-3=2（x+1）或y-3=-

1

2

 （x+1），即：2x-y+5=0 或x+2y-5=0．

点评：本题考查用待定系数法求圆的方程以及直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．