【题目】已知抛物线的方程为,过点(为常数)作抛物线的两条切线,切点分别为,.
(1)过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于,两点,,两点在轴上的射影分别为,,且,求抛物线的方程;
(2)设直线,的斜率分别为,.求证:为定值.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由抛物线方程可知其焦点坐标,则可得直线的方程,联立直线与抛物线方程,消去,根据根与系数关系可得点的横坐标关系式,再由,从而问题可得解;(2)由题意,根据导数几何意义,通过两切点计算两条切线方程,从而得到两切线斜率与抛物线参数的关系式,从而可证明,两斜率的乘值为定值.
试题解析:(1)因为抛物线的焦点坐标是,
所以过焦点且在轴上截距为的直线方程是 ,即.
联立消去并整理,得,
设点,,
则,.
则
,
解得.
所以抛物线的方程为.
(2)设点, .
依题意,由,得,
则.
所以切线的方程是,
即.
又点在直线上,
于是有,
即.
同理,有,
因此,,是方程的两根,
则,.
所以,
故为定值得证.
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【题目】“大众创业,万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
试销单价(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量(件) | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知,.
(Ⅰ)求出的值;
(Ⅱ)已知变量,具有线性相关关系,求产品销量(件)关于试销单价(元)的线性回归方程;
(Ⅲ)用表示用(Ⅱ)中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个,求“好数据”至少有一个的概率.
(参考公式:线性回归方程中,的最小二乘估计分别为,)
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【题目】如果存在函数(为常数),使得对函数定义域内任意都有成立,那么称为函数的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论:
①函数存在“线性覆盖函数”;
②对于给定的函数,其“线性覆盖函数”可能不存在,也可能有无数个;
③为函数的一个“线性覆盖函数”;
④若为函数的一个“线性覆盖函数”,则
其中所有正确结论的序号是___________.
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【题目】已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线的斜率为,直线与椭圆C交于两点.点为椭圆上一点,求的面积的最大值.
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【题目】已知圆:与直线:,动直线过定点.
(1)若直线与圆相切,求直线的方程;
(2)若直线与圆相交于、两点,点M是PQ的中点,直线与直线相交于点N.探索是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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