Question

已知函数f（x）=x³-tx²+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-∞，3]
• B、（-∞，5]
• C、[3，+∞）
• D、[5，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由题意可得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组．

解答： 解：∵函数f（x）=x³-tx²+3x，f′（x）=3x²-2tx+3，
若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，
则f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，
∴

f′(1)=3-2t+3≤0 f′(3)=27-6t+3≤0

，解得t≥5，
故选D．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．