Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n＞1），则数列{a_n}的通项公式a_n=n，若a_n=2013，则n=2013．

Answer 1

分析 通过a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1与a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n作差、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n＞1），
∴a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n，
两式相减得：a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$a_n，即a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{1}$，
∴a_n=na₁=n，
故答案为：n，2013．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．