Question

如图，已知椭圆C的方程为x2+

y2

2

=1，点P（a，b）的坐标满足a2+

b2

2

≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．

Answer 1

分析：（1）先把A、B两点和点Q的坐标设出来，再分A、B两点的横坐标相等和不相等两种情况分别设出直线l的方程，再利用A、B两点既在直线上又在椭圆C上，可以找到A、B两点坐标之间的关系，最后利用中点坐标公式，就可求点Q的轨迹方程（注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件）；
（2）先找到曲线L与y轴的交点（0，0），（0，b）以及与x轴的交点坐标（0，0），（a，0），再对a和b的取值分别讨论，分析出与坐标轴的交点的个数（注意点P（a，b）的坐标满足a2+

b2

2

≤1）．

解答：解：（1）设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），点Q的坐标为Q（x，y）．当x₁≠x₂时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-a）+b
由已知

x

2 1

+

y 2 1

2

=1，

x

2 2

+

y 2 2

2

=1①
y₁=k（x₁-a）+b，y₂=k（x₂-a）+b②
由①得(x1+x2)(x1-x2)+

1

2

(y1+y2)(y1-y2)=0③
由②得y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2ak+2b④
由③④及x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，k=

y1-y2

x1-x2

，
得点Q的坐标满足方程2x²+y²-2ax-by=0⑤
当x₁=x₂时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）．
显然点Q的坐标满足方程⑤
综上所述，点Q的坐标满足方程2x²+y²-2ax-by=0．
设方程⑤所表示的曲线为L，
则由

2x2+y2-2ax-by=0 x2+ y2 2 =1

得（2a²+b²）x²-4ax+2-b²=0．
因为△=8b2(a2+

b2

2

-1)，由已知a2+

b2

2

≤1，
所以当a2+

b2

2

=1时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）．
当a2+

b2

2

＜1时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点．
因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内．
故点Q的轨迹方程为2x²+y²-2ax-by=0
（2）由

2x2+y2-2ax-by=0 x=0

解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）．
由

2x2+y2-2ax-by=0 y=0

解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）
当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）．
当a=0且0＜|b|≤

2

，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）．
同理，当b=0且0＜|a|≤1，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）．
当0＜|a|＜1且0＜|b|＜

2(1-a2)

，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）．

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及轨迹方程问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．