Question

己知数列{A_n}中，A₁>－1,对任意自然数n，都有A_n+1=.

(1)   设A₁=1,求A₂,A₃,A₄;

(2)   试比较A_n与的大小，并证明你的结论；

(3)   当A₁≠时，证明：对于任意自然数n，或者都满足A_2n－1<A_2n+1;或者都满足A_2n－1<A_2n+1。

Answer 1

答案：
解析：

（1）依A1=1,可以依次推得： A2=,A3=,A4=. (2)依A1>－1及An+1==1+, 可以推得An>－1. 研究An+1－=－ ==(An－1－).　　 (*) 注意到：>0 ①当A1=时，假设n=k时，Ak=,则依（*）推出Ak+1=. 因此对于任意自然数n，An=. ②当－1<A1<时，由A2－=>0,推出A2>,A3<.假设n=k时，若－1<Ak<,则依（*） 推出Ak+2<. 因此，当n是奇数时An<;当n是偶数时，An>. ③当A1>时，同理可证 当n是奇数时，An>;当n是偶数时，An<. (3)研究A2n+1－A2n－1=(1+)－A2n－1 =1+－A2n－1 =.　　    　　　　　　 (* *) ①    当－1<A1<时，依（2）中可知，－1<A2n－1<,故2－A2n－12>0且2A2n－1+3>0.则由（*  *）得，对任意自然数n，有A2n+1>A2n－1. ②    当A1>时，依（2）中可知，A2n－1>,故2－A2n－12<0. 因此，对任意自然数n，有A2n+1<A2n－1.