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    平面向量数学公式，数学公式，数学公式，数学公式，且数学公式，则起点在原点的向量数学公式的个数为________．

    1
    分析：利用两个向量的数量积公式及题中的条件，得到x+y=2x2+2y2=1，解得的坐标仅有一个，从而得到结论．
    解答：∵，∴x+y=2x2+2y2=1，把 y=1-x代入2x2+2y2=1可得，
    （2x-1）2=1，∴x=，∴y=，∴=（），故起点在原点的向量的个数为 1，
    故答案为 1．
    点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，以及一元二次方程的解法．
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    α
    ，
    β
    (
    α
    ≠
    β
    )    满足|
    β
    |=1，且
    α
    与 
    β
    -
    α
    的夹角为120°，则|
    α
    |的取值范围是
     
    ．

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    已知平面向量
    α
    ，
    β
    (
    α
    ≠
    β
    )    满足|
    α
    |=2    ，且
    α
    与
    β
    -
    α
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    α
    +t
    β
    |    的取值范围是
    [
    		3
    ，+∞)
    [
    		3
    ，+∞)
    ．

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    a
    ，
    b
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    a
    |=1，|
    a
    +
    b
    |=2    ，则|
    b
    |    的取值范围
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    已知平面向量
    a
    ，
    b
    ，且满足|
    a
    |=1，|
    b
    |=2    ，则|
    a
    +
    b
    |    的取值范围
    [1，3]
    [1，3]
    ．

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