Question

【题目】对于函数f（x）=ax2+bx+（b﹣1）（a≠0）
（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的零点；
（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=1，b=﹣2

∴f（x）=x2﹣2x﹣3

令f（x）=0，则x2﹣2x﹣3=0

∴x=3或x=﹣1

此时f（x）的零点为3和﹣1

（2）解：由题意可得a≠0

则△=b2﹣4a（b﹣1）＞0对于b∈R恒成立

即△′=16a2﹣16a＜0

∴0＜a＜1

【解析】（1）把所给的数字代入解析式，得到函数的解析式，要求函数的零点，只要使函数等于0就可以，解一元二次方程，得到结果．（2）函数恒成立问题，首先函数恒有两个相异的零点，得到函数的判别式大于0，对于b的值，不管b取什么，都能够使得不等式成立，注意再次使用函数的判别式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的零点的相关知识，掌握函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．