Question

已知向量

a

=（sinx，2cosx），

b

=（2sinx，sinx），设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[

π

12

 ，  

7π

12

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用两个向量的数量积公式求得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．
（II）由题意求得g（x）=

2

sin（2x+

π

12

）+1，由x的范围，可得2x+

π

12

的范围，从而求得g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=

a

•

b

=2sin²x+2sinxcosx=2×

1-cos2x

2

+sin2x=

2

sin（2x-

π

4

）+1，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]（ k∈Z）．
（II）由题意g（x）=

2

sin[2（x+

π

6

）-

π

4

]+1=

2

sin（2x+

π

12

）+1，
由

π

12

≤x≤

7π

12

，可得

π

4

≤2x+

π

12

≤

5π

4

，
∴0≤g（x）≤

2

+1，即 g（x）的最大值为

2

+1，g（x）的最小值为0．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．