Question

15．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，利用奇偶性的定义即可判断f（x）是奇函数；
（Ⅱ）利用单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$的定义域是D=（-∞，0）∪（0，+∞），
任取x∈D，则-x∈D，
且f（-x）=-x-$\frac{1}{-x}$=-（x-$\frac{1}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（Ⅱ）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁x₂＞0，
x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，
∴$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与应用问题，是基础题目．