Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、[0，2]
• C、（1，2）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数周期性得出可得函数的周期为2，方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，
转化为：函数f（x）与y=a（x+1）的图象有三个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．

解答： 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+1）=f（1-x），
∴对称轴x=1，
f（x）=f（2-x），
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），f（-x）=f（2+x）
即f（x）=f（x+2）
∴可得函数的周期为2，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程ax+a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根
∴等价于函数f（x）与y=a（x+1）的图象有三个不同的交点，
且为偶函数，如图所示：

∴由于直线y=a（x+1）过定点B（-1，0），
当直线的斜率a=0时，满足条件，
当直线过点A（1，2）时，a=1，不满足条件．
当直线过点B（3，1）时，a=

2

4

=

1

2

，
根据图象得出：实数a的取值范围

1

2

＜a＜1，
故选：A．

点评：本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属于中档题．