Question

19．当x$≥\frac{5}{2}$时，不等式$\frac{{x}^{2}-4x+5}{2x-4}$≥a恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 x$≥\frac{5}{2}$，变形为$\frac{{x}^{2}-4x+5}{2x-4}$=$\frac{（x-2）^{2}+1}{2（x-2）}$=$\frac{1}{2}（x-2+\frac{1}{x-2}）$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x$≥\frac{5}{2}$，
$\frac{{x}^{2}-4x+5}{2x-4}$=$\frac{（x-2）^{2}+1}{2（x-2）}$=$\frac{1}{2}（x-2+\frac{1}{x-2}）$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{（x-2）•\frac{1}{x-2}}$=1，当且仅当x=3时取等号．
∵当x$≥\frac{5}{2}$时，不等式$\frac{{x}^{2}-4x+5}{2x-4}$≥a恒成立，
∴a≤1，
∴实数a的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．