Question

小张有一只放有a个红球、b个黄球、c个白球的箱子，且a+b+c=6（a，b，c∈N），小刘有一只放有3个红球、2个黄球、1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜．
（1）用a、b、c表示小张胜的概率；
（2）若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．

Answer 1

解：（1）P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球）
==．
（2）设小张的得分为随机变量ξ，则
P（ξ=3）=，P（ξ=2）=，P（ξ=1）=，
P（ξ=0）=1一P（小张胜）=1一，
∴Eξ=3×+2×+1×+0×（1一）
=
=
=．
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，
∴b=6-a-b，
此时a=c=0，b=6时，Eξ最大．
分析：（1）由P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球），能用a、b、c表示小张胜的概率．
（2）设小张的得分为随机变量ξ，则P（ξ=3）=，P（ξ=2）=，P（ξ=1）=，P（ξ=0）=1一P（小张胜）=1一，由此能求出小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．
点评：本题考查概率的性质和求法，考查离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．