Question

（“选修4-2矩阵与变换”）
已知y=f（x）的图象（如图1）经A=

.

a b c d

.

作用后变换为曲线C（如图2）．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于y=f（x）的图象上的点（π，0）变换后为（

π

2

，0），点（

π

2

，1）变换后为（

π

4

，1），根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，解出方程，即可得到矩阵．
（Ⅱ）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值．

解答：解：（Ⅰ） 由于y=f（x）的图象上的点（π，0）经A=

.

a b c d

.

作用后变换为（

π

2

，0），
∴

a b c d

π   0

=

π 2   0

  解得 a=

1

2

，c=0，
由于y=f（x）的图象上的点（

π

2

，1）经A=

.

a b c d

.

作用后变换为为（

π

4

，1），
∴

1 2 b 0 d

π 2   1

=

π 4   1

  解得 b=0，d=1，
∴A=

1 2 0 0 1

；
（Ⅱ）由题意得

.

λ- 1 2 0 0 λ-1

.

=0
∴（λ-

1

2

）（λ-1）=0，
解得λ=

1

2

或λ=1
∴矩阵A的特征值是

1

2

与1．

点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算，属于基础题．