Question

已知,用符号表示不超过的最大整数。函数有且仅有3个零点，则的取值范围是__________.

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以；

分x>0和x<0的情况讨论，显然有a≥0.。

若x>0，此时[x]≥0；

若[x]=0，则=0；

若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1，故<≤1，即<a≤1。

且随着[x]的增大而增大。

若x<0，此时[x]<0；

若-1≤x<0，则≥1；

若x<-1,因为[x]≤x<-1；[x]≤x<[x]+1，故1≤<，即1≤a<，

且随着[x]的减小而增大。

又因为[x]一定是，不同的x对应不同的a值。

所以为使函数f(x)= －a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3。

若[x]=1，有<a≤1；

若[x]=2，有<a≤1；

若[x]=3，有<a≤1；

若[x]=4，有<a≤1；

若[x]=-1，有a>1；

若[x]=-2，有1≤a<2；

若[x]=-3，有1≤a<；

若[x]=-4，有1≤a<；综上所述，

考点：本题主要考查取整函数的概念，分类讨论思想，函数的单调性，零点的概念。

点评：难题，本题考查知识点较多，难度较大，解答问题的关键是理解“取整函数”的意义，灵活运用所学知识解题。