Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，从圆C外一点p向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：如图所示，⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，化为标准方程，求出圆心C，半径r．设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y-12=0，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：如图所示
⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0化为（x+1）²+（y-2）²=2，
圆心C（-1，2），半径r=

2

．
设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CM⊥PM，
∴|PM|=

|PC|2-r2

=

(x+1)2+(y-2)2-2

．
∵|PM|=|PO|，
∴

x2+y2

=

(x+1)2+(y-2)2-2

．
化为2x-4y+3=0．
∴|PM|²=x²+y²=x²+（

2x+3

4

）²
=

5

4

(x+

3

10

)2+

9

16

-

9

80

=

5

4

(x+

3

10

)2+

9

20

，
当x=-

3

10

时，|PM|²取得最小值

9

20

，
即|PM|取得最小值

3 5

10

．

点评：本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．