【题目】设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点, 到抛物线的准线的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设上两点, 关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ), .(Ⅱ),或.
【解析】试题分析:由于为抛物线焦点, 到抛物线的准线的距离为,则,又椭圆的离心率为,求出,得出椭圆的标准方程和抛物线方程;则,设直线方程为设,解出两点的坐标,把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标,写出 所在直线方程,求出点的坐标,最后根据的面积为解方程求出,得出直线的方程.
试题解析:(Ⅰ)解:设的坐标为.依题意, , , ,解得, , ,于是.
所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.
(Ⅱ)解:设直线的方程为,与直线的方程联立,可得点,故.将与联立,消去,整理得,解得,或.由点异于点,可得点.由,可学*科.网得直线的方程为,令,解得,故.所以.又因为的面积为,故,整理得,解得,所以.
所以,直线的方程为,或.
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【题目】某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树苗,分别测出它们的高度如下(单位:cm)
甲:19 20 21 23 25 29 32 33 37 41
乙:10 24 26 30 34 37 44 46 47 48
(1)用茎叶图表示上述两组数据,并对两块地抽取树苗的高度进行比较,写出一个统计结论;
(2)苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务,小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种2株,则小王没有选到甲苗圃树苗的概率是多少?
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【题目】已知向量 =(4,3), =(2,﹣1),O为坐标原点,P是直线AB上一点.
(1)若点P是线段AB的中点,求向量 与向量 夹角θ的余弦值;
(2)若点P在线段AB的延长线上,且| |= | |,求点P的坐标.
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【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形,侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C,且AC=2,AB= ,∠A1AB=45°,E、F分别为AA1、CC1的中点.
(1)求证:AA1⊥平面BEF;
(2)求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值.
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【题目】某校高二年级学生会有理科生4名,其中3名男同学;文科生3名,其中有1名男同学.从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查.
(Ⅰ)设为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”,求事件的概率;
(Ⅱ)设为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】如图,平面ABCD⊥平面ADEF,四边形ABCD为菱形,四边形ADEF为矩形,M、N分别是EF、BC的中点,AB=2AF=2,∠CBA=60°.
(1)求证:AN⊥DM;
(2)求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值;
(3)求三棱锥D﹣MAN的体积.
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