Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，则不等式f（x）+f（x-8）＜2解集为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
∴2=2f（3）=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），
则不等式f（x）+f（x-8）＜2等价为f[x（x-8）]＜f（9），
∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，
∴不等式等价为

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＜9

，
即

x＞0 x＞8 -1＜x＜9

，解得8＜x＜9，
即不等式的解集为（8，9），
故答案为：（8，9）

点评：本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．