Question

已知f（x）=ax²+bx，若1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，则f（2）的取值范围是

[2，10]

．

Answer 1

分析：根据题意，设f（2）=λf（1）+μf（-1），结合题中函数关系式建立关于λ、μ的方程组解出λ=3且μ=1，从而得到f（2）=3f（1）+f（-1），最后利用不等式的基本性质将同向不等式相加，即得f（2）的取值范围．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx，∴f（1）=a+b，f（-1）=a-b，f（2）=4a+2b
设f（2）=λf（1）+μf（-1），则

4=λ+μ 2=λ-μ

，解之得λ=3且μ=1，即f（2）=3f（1）+f（-1），
∵1≤f（1）≤3，∴3≤3f（1）≤9…①
又∵-1≤f（-1）≤1，…②
∴不等式①②相加，得2≤3f（1）+f（-1）≤10，即2≤f（2）≤10
故f（2）的取值范围是[2，10]
故答案为：[2，10]

点评：本题给出二次函数在已知f（1）、f（-1）的范围性质下求f（2）的范围．着重考查了不等式的基本性质和简单的性质规划等知识，属于基础题．