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    在△ABC中，满足：
    AB
    ⊥
    AC
    ，M是BC的中点．
    （I）若|
    AB
    |=|
    .
    AC
    |    ，求向量
    AB
    +2
    AC
    ．与向量2
    .
    AB
    +
    A
    •
    C
    的夹角的余弦值；
    （II）若O是线段AM上任意一点，且|
    .
    AB
    |=|
    AC
    |=
    		2
    ，求
    .
    OA
    •
    O
    •
    B
    +
    OC
    •
    OA
    的最小值；
    （3）若点P是∠BAC内一点，且|
    .
    AP
    |=2，
    AP
    •
    AC
    =2，
    AP
    •
    AB
    =1    ，求|
    AB
    +
    AC
    +
    AP
    |    的最小值．
    分析：（I）利用向量的数量积公式得到cosθ=
    (
    AB
    +2
    AC
    )•(2
    AB
    +
    AC
    )
    |
    AB
    +2
    AC
    |•|2
    AB
    +
    AC
    |
    ，利用向量的数量积公式展开，求出向量
    AB
    +2
    AC
    ．与向量2
    .
    AB
    +
    A
    •
    C
    的夹角的余弦值；
    （II）通过解三角形求出AM的长，设|
    OA
    |=x    ，则|
    OM
    |=1-x    ，利用向量的平行四边形法则得到而
    OB
    +
    OC
    =2
    OM

    ，利用向量的数量积公式将
    .
    OA
    •
    O
    •
    B
    +
    OC
    •
    OA
    表示成关于x的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值．
    （III）设∠CAP=α，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于α的三角函数，将|
    AB
    +
    AC
    +
    AP
    |    平方转化为关于α的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．
    解答：解：（I）设向量
    AB
    +2
    AC
    ．与向量2
    .
    AB
    +
    AC
    的夹角为θ
    ∴cosθ=
    (
    AB
    +2
    AC
    )•(2
    AB
    +
    AC
    )
    |
    AB
    +2
    AC
    |•|2
    AB
    +
    AC
    |
    ，
    令|
    AB
    |=|
    .
    AC
    |    =a
    ∴cosθ=
    2a2+2a2
    		5
    a
    		5
    a
    =
    4
    5

    （II）∵|
    AB
    |=|
    .
    AC
    |    =
    		2
    ，
    ∴|
    AM
    |=1
    设|
    OA
    |=x    ，则|
    OM
    |=1-x    ，
    而
    OB
    +
    OC
    =2
    OM

    ∴
    OA
    •
    OB
    +
    OC
    •
    OA
    =
    OA
    •(
    OB
    +
    OC
    )=2
    OA
    •
    OM
    =2|
    OA
    ||
    OM
    |cosπ
    =-2x（1-x）=2x2-2x=2(x-
    1
    2
    )2-
    1
    2

    当且仅当x=
    1
    2
    时，
    OA
    •
    OB
    +
    OC
    •
    OA
    的最小值是-
    1
    2

    （III）设∠CAP=α⇒∠BAP=
    π
    2
    -α
    ∵
    AP
    •
    AC
    =2，
    AP
    •
    AB
    =1，|
    AP
    |=2
    ∴2•|
    AC
    |cosα=2⇒|
    AC
    |=
    1
    cosα
    ，2•|
    AB
    |cos(
    π
    2
    -α)=1⇒|
    AB
    |=
    1
    2sinα

    ∴|
    AB
    +
    AC
    +
    AP
    |2=
    AB
    2    +
    AC
    2    +
    AP
    2    +2
    AB
    •
    AC
    +2
    AC
    •
    AP
    +2
    AB
    •
    AP
    =
    1
    cos2α
    +
    1
    4sin2α
    +4+2+4=
    sin2α+cos2α
    cos2α
    +
    sin2α+cos2α
    4sin2α
    +10
    =
    sin2α
    cos2α
    +
    cos2α
    4sin2α
    +
    45
    4
    ≥2
    sin2αcos2α
    cos2α4sin2α
    +
    45
    4
    =1+
    45
    4
    =
    49
    4

    当且仅当
    sin2α
    cos2α
    =
    cos2α
    4sin2α
    ⇒tanα=
    		2
    2
    时，|
    AB
    +.
    AC
    +
    AP
    |m
    •
    m
    =
    7
    2
    点评：解决向量的夹角问题，一般利用的是向量的数量积公式．是一道综合题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，满足tan
    A-B
    2
    =
    a-b
    a+b
    ．
    （1）试判断△ABC的形状；
    （2）当a=10，c=10时，求tan
    A
    2
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，满足tanA•tanB＞1，则这个三角形是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为
    		2
    ．
    （Ⅰ）求角C；
    （Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，满足：
    AB
    ⊥
    AC
    ，M是BC的中点．
    （1）若|
    AB
    |=|
    AC
    |    ，求向量
    AB
    +2
    AC
    与向量2
    AB
    +
    AC
    的夹角的余弦值；
    （2）若点P是BC边上一点，|
    AP
    |=2    ，且
    AP
    •
    AC
    =2
    AP
    •
    AB
    =2    ，求|
    AB
    +
    AC
    +
    AP
    |    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，满足
    AB
    与
    AC
    的夹角为60°，M是AB的中点，
    （1）若|
    AB
    |=|
    AC
    |    ，求向量
    AB
    +2
    AC
    与
    AB
    的夹角的余弦值；．
    （2）若|
    AB
    |=2，|
    BC
    |=2
    		3
    ，点D在边AC上，且
    AD
    =λ
    AC
    ，如果
    MD
    •
    AC
    =0    ，求λ的值．

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