Question

如果以原点为圆心的圆经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的顶点，并且被直线x=

a2

c

（c为双曲线的半焦距）分为弧长为3：1的两段弧，则该双曲线的离心等于…（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：设双曲线焦点为F，准线与圆的一个交点为A，与x轴交点为B．圆被右准线分成弧长为1：2两段，则劣弧所对圆心角为120°，由△OFA是等边三角形，能求出该双曲线的离心率．

解答：解：设双曲线焦点为F，
准线与圆的一个交点为A，与x轴交点为B．
圆被右准线分成弧长为1：2两段，
则劣弧所对圆心角为120°，
∵∠AOF=60°且AO=OF，
∴△OFA是等边三角形，
故OF=2OB，即
c=

2a2

c

，
∴(

c

a

)2=2，
解得e=

2

．
故选C．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．