Question

5．如图，几何体ABC-C₁B₁的底面ABC为等边三角形，侧面BB₁C₁C为矩形，B₁B⊥平面ABC，E为边AB₁的中点，D在边BC上移动．
（1）若D为边BC的中点，求证：BE∥平面ADC₁；
（2）若AB=BB₁=2，记l为平面BEC与平面ADC₁的交线，试确定点D的位置，使得直线l与平面ACC₁所成的角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 （1）取AC₁的中点F，则四边形BEFD为平行四边形，从而BE∥DF，由此能证明BE∥平面ADC₁．
（2）取点G为AC的中点，直线DF即直线l，以BC的中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，过O垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D是线段OC中点时，使得直线l与平面ACC₁所成的角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

解答 证明：（1）取AC₁的中点F，则EF∥B₁C₁∥BD，
且EF=$\frac{1}{2}$B₁C₁=BD，
∴四边形BEFD为平行四边形，∴BE∥DF，
又DE?平面ADC₁，∴BE∥平面ADC₁．
解：（2）取点G为AC的中点，由（1）知直线DF即直线l，
GB⊥平面ACC₁，即确定点D的位置，使得直线l与平面ACC₁所成的角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
如图，以BC的中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，
过O垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），C₁（1，0，2），A（0，$\sqrt{3}$，0），
∵E和F关于平面yoz对称，∴F（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∵BG⊥AC，BG⊥AC₁，设D（a，0，0），
∴平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{BG}$=（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），$\overrightarrow{FD}$=（a-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
∵直线l与平面ACC₁所成的角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{FD}|}$=$\frac{|\frac{3}{2}（a-\frac{1}{2}）-\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}•\sqrt{（a-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
整理，得6a²-13a+5=0，解得a=$\frac{1}{2}$，或a=$\frac{5}{3}$，
∵D在边BC上移动，∴a=$\frac{1}{2}$，
∴点D是线段OC中点时，使得直线l与平面ACC₁所成的角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点的位置的确定，是中要档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．