Question

17．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA、OB分别交于P、Q两点．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OG}$；
（2）若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=n$\overrightarrow{b}$，试问$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）延长OG交AB于D，即有D为AB的中点，应用重心的性质和中点向量表示，可得$\overrightarrow{OG}$；
（2）由已知条件求得$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，结合（1）的结论，应用三点共线的向量表示，其系数和为1，即可得到所求定值．

解答 解：（1）点G是△OAB的重心，
延长OG交AB于D，即有D为AB的中点，
可得$\overrightarrow{OG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$为定值3．
理由：由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=n$\overrightarrow{b}$，
可得$\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{m}$$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{n}$$\overrightarrow{OQ}$，
即有$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3m}$$\overrightarrow{OP}$+$\frac{1}{3n}$$\overrightarrow{OQ}$，
由三点P，G，Q共线，可得$\frac{1}{3m}$+$\frac{1}{3n}$=1，
即为$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$为定值3．

点评 本题考查平面向量和应用，主要是向量共线定理和三点共线的向量表示，考查运算能力，属于中档题．