Question

双曲线E经过点P（-4，6），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=2．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程．

Answer 1

解：依题意，可设双曲线方程为，（a＞0，b＞0），c²=a²+b²（c＞0）
（Ⅰ）∵双曲线E经过点P（-4，6），离心率e=2，
∴，
∴a²=4，b²=12
∴E的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c=4，设F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵P（-4，6），∴PF₁⊥x轴
设∠F₁PF₂的角平分线交x轴于点M（m，0）
由角平分线的性质可知=，即=，∴m=1
∴M（1，0）
故所求直线方程为y=（x-1），即6x+5y-6=0．
分析：（1）根据题意先设双曲线方程，利用双曲线E经过点P（-4，6），离心率e=2，可求双曲线E的方程；
（2）利用角平分线的性质可求∠F₁AF₂的角平分线交x轴点M的坐标，从而可求直线方程．
点评：本题考查双曲线的简单性质，考查直线方程的求解，解题的关键是待定系数法，正确理解角平分线的性质．