Question

如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=

2

2

，一条准线的方程为x=2

2

．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

．
问：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值．若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x²+2y²20+4（x₁x₂+2y₁y₂），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x₁x₂+2y₁y₂=0，进而求得x²+2y²的值，利用椭圆的定义可推断出|PF₁|+|PF₂|为定值求得c，则两焦点坐标可得．

解答：解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

=2

2

，求得a=2，c=

2

∴b=

4-2

=

2

∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

2

=1
（Ⅱ）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵点M，N在椭圆上，所以

x 12

4

+

y 12

2

=1，

x 22

4

+

y 22

2

=1
故x²+2y²=（x₁²+4x₂²+4x₁x₂）+2（y₁²+4y₂²+4y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）
设k_0M，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k_0Mk_ON=-

1

2

∴x₁x₂+2y₁y₂=0
∴x²+2y²=20
所以P在椭圆

x2

20

+

y2

10

=1上；
设该椭圆的左，右焦点为F₁，F₂，由椭圆的定义可推断出|PF₁|+|PF₂|为定值，因为c=

10

，则这两个焦点坐标是（-

10

，0）（

10

，0）

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．