Question

已知圆M：(x+

5

)2+y2=36，定点N（

5

，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得

OA

•

OB

≤-1？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）点Q在NP上，点G在MP上，由已知有|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆的定义知G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由定义写出其标准方程即可得到点G的轨迹C的方程．
（2）令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂+y₁y₂＜-1，由直线l与曲线C联立求利用根与系数的关系求出x₁x₂，y₁y₂的参数表达式，代入求直线的斜率k的范围．

解答：解：由已知，Q为PN的中点且GQ⊥PN⇒GQ为PN的中垂线⇒|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=

5

，
∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是

x2

9

+

y2

4

=1
（II）设l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

⇒（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0
∴x₁₊x₂=

36k2

9k2+4

x₁x₂=

36(k2-1)

9k2+4

①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=k²[x₁x₂-2（x₁₊x₂）+4]=

20k2

9k2+4

②

OA

•

OB

≤-1，即x₁x₂+y₁y₂＜-1
把①、②代入上式x₁x₂+y₁y₂=0得-

4 130

65

＜k＜

4 130

65

点评：本题的考点是轨迹方程，考查了定义法求椭圆的轨迹方程与直线与椭圆的相交问题，直线与椭圆的关系问题是圆锥曲线中一类常考的综合题，其规律是联立方程⇒消元得关于x，或y的一元二次方程，再利用根系关系得到两个直线的交点的坐标满足的方程，学习时应注意总结这一共性．