Question

已知a＞0，函数f（x）=

ex

a

+

a

ex

在R上满足f（-x）=f（x），其中e为自然对数的底数　
（1）求实数a的值  
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质得：f（-1）=f（1），代入解析式化简求出a的值；
（2）由（1）求出f（x），再由单调性的定义进行证明，即取值、作差、变形、定号、下结论．

解答：解：（1）∵f（-x）=f（x），∴f（-1）=f（1）
即

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，

1

ea

+ae=

e

a

+

a

e

即(

1

e

-e)

1

a

=a(

1

e

-e)，
∴

1

a

=a(a＞0)，解得a=1------（4分）
（2）由（1）得，f（x）=e^x+e^-x
设（0，+∞）上任意两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂------（1分）
则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+

ex2-ex1

ex1ex2

=(ex1-ex2)(1-

1

ex1+x2

)
=

(ex1-ex2)(ex1+x2-1)

ex1+x2

------（4分）
∵0＜x₁＜x₂且y=e^x在R为增函数，
∴ex1＜ex2，x1+x2＞0∴ex1-ex2＜0；ex1+x2＞e0=1------（2分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．------（1分）

点评：本题考查了奇函数的性质应用，以及单调性的定义进行证明的步骤，即取值、作差、变形、定号、下结论，关键是变形一定要彻底，化为因式相乘除的形式．