Question

20．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，若点O是△ABC的内心，则（　　）

• A． PA=PB=PC
• B． 点P到AB，BC，AC的距离相等
• C． PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA
• D． PA，PB，PC与平面α所成的角相等

Answer 1

分析 过O做三角形ABC三边的高OD，OE，OF，连接PD，PE，PF，构造直角三角形，利用三角形的全等得出PD=PE=PF，再利用线面垂直的性质得出PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，从而得出P到AB，BC，AC的距离相等．

解答 解：过O做三角形ABC三边的高，垂足分别为D，E，F，连接PD，PE，PF，如图所示：
∵O是△ABC的内心，
∴OD=OE=OF，
∵PO⊥平面α，OD?平面α，OE?平面α，OF?平面α，
∴PO⊥OD，PO⊥OE，PO⊥OF，
∴Rt△POD=Rt△POE=RtPOF，
∴PD=PE=PF，
∵AB⊥OD，AB⊥PO，
∴AB⊥平面POD，
∴AB⊥PD，即PD为P到AB的距离，
同理PE⊥BC，PF⊥AC，
∴点P到AB，BC，AC的距离相等．
故选B．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，空间距离的计算，属于中档题．