Question

已知向量

m

=(cos

x

2

，cos

x

2

)，

n

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，且x∈[0，π]，令函数f(x)=2a

m

•

n

+b
①当a=1时，求f（x）的递增区间；
②当a＜0时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析：①由已知中向量

m

=(cos

x

2

，cos

x

2

)，

n

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，且x∈[0，π]，函数f(x)=2a

m

•

n

+b，根据向量的数量积运算公式，我们易求出函数的解析式，并根据除幂公式，辅助角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，得到f（x）的递增区间
②由a＜0时，f（x）的值域是[3，4]，我们可以根据正弦型函数最值与A，B参数的关系，构造出关于a，b的方程组，解方程组即可得到a，b的值．

解答：解：①

m

•

n

=cos2

x

2

+sin

x

2

•cos

x

2

=

1+cosx

2

+

1

2

sinx（2分）
∴f（x）=a（sinx+cosx）+a+b=

2

asin(x+

π

4

)+a+b（4分）
当a=1时，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)+b+1（5分）
∵x∈[0，π]∴x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
由

π

4

≤x+

π

4

≤

π

2

得：0≤x≤

π

4

∴f(x)的递增区间是[0，

π

4

]（6分）
②当a＜0时，f（x）=

2

asin(x+

π

4

)+a+b
易知sin(x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]∴f(x)∈[(

2

+1)a+b，b]（8分）
则

( 2 +1)a+b=3 b=4

∴

a=1- 2 b=4

（12分）

点评：本题考查的知识点是正弦函数的单调性，数量积的坐标表达式，三角函数中的恒等变换，正弦函数的定义域与值域，其中根据已知条件求出函数的解析式，及熟练掌握正弦型函数的性质是解答本题的关键．