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已知函数f(x)=ax2+(a-1)x-1,有且仅有一个零点的充要条件是
 
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题:简易逻辑
分析:首先讨论a的取值:a=0,和a≠0的情况,a=0时,f(x)是一次函数,容易判断此时f(x)只一个零点;a≠0时,f(x)是二次函数,要使f(x)只一个零点,即一元二次方程ax2+(a-1)x-1=0只一个解,所以△=(a-1)2+4a=0,解该方程即得a的值,所以合并a=0即得到f(x)有且仅有一个零点的充要条件.
解答: 解:a=0时,f(x)=-x-1,令-x-1=0,x=-1,即f(x)只有一个零点,符合条件;
a≠0时,f(x)=ax2+(a-1)x-1,令ax2+(a-1)x-1=0,则该方程只有一个解;
∴△=(a-1)2+4a=0,解得a=-1;
∴f(x)有一个零点时a=0,或-1;
即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a=0,或a=-1.
故答案为:a=0,或a=-1.
点评:考查函数零点的概念,充要条件的概念,以及一元二次方程解的情况和判别式△的关系.
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