Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD的交点为O，△ABF和△DEC为等边三角形，棱EF∥BC，EF=

1

2

BC，AB=1，BC=2，M为EF的中点，
①求证：OM⊥平面ABCD；
②求二面角E-CD-A的大小；
③求点A到平面CDE的距离．

Answer 1

分析：（1）取AB，CD的中点为P，Q．连接PQ，EQ，FP．说明EFPQ为等腰梯形．证明CD⊥平面EFPQ推出CD⊥MO，又CD和PQ相交，即可证明MO⊥面ABCD
（2）由（1）可知∠EQP为二面角E-CD-A的平面角，通过cos∠EQP=

NQ

EQ

=

3

3

即可．
（3）因为AB∥平面CDE所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离．过点P作PH⊥EQ于点H，说明PH的长为点P到平面CDE的距离．由cos?EQP=

3

3

，求出PH=PQsin∠EQP=

2 6

3

．

解答：（1）证明：取AB，CD的中点为P，Q．连接PQ，EQ，FP．则P，O，Q三点共线
且PQ∥BC又因为EF∥BC所以有EF∥PQ且FP=EQ．所以EFPQ为等腰梯形．
所以有MO⊥PQ，CD⊥EQ CD⊥PQ，PQ∩CQ=Q
所以CD⊥平面EFPQ
所以CD⊥MO，又CD和PQ相交，
所以有MO⊥面ABCD
解：（2）由（1）可知∠EQP为二面角E-CD-A的平面角
过E点作EN⊥PQ于点N，则N为OQ的中点．
cos∠EQP=

NQ

EQ

=

3

3

（3）因为AB∥平面CDE所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离．过
点P作PH⊥EQ于点H，则PH^CD，又CD交EQ于Q．所以PH⊥平面CDE．
所以PH的长为点P到平面CDE的距离．
由cos?EQP=

3

3

得 sin∠EQP=

6

3

，PH=PQsin∠EQP=

2 6

3

点评：本题是中档题，考查直线与平面的垂直，空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力