Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦点为F₁，F₂，（1，

3

2

）为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自F₁引直线交曲线C于P，Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M，设

F1P

=λ

F1Q

．
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）证明：

F2M

=-λ

F2Q

；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

Answer 1

（1）依题意，

1 a2 + 9 4 b2 =1 a=2c

，又a²=b²+c²，解得

a2=4 b2=3

，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
∵F₂（1，0），设抛物线方程为y²=2px，则

p

2

=1，p=2，故抛物线方程为y²=4x
（2）∵F₁（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）
由

y=kx+k y2=4x

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，△＞0时，x₁x₂=1 （1）
又∵

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1）（2），y₁=λy₂
由（1）（2）得，x₁=λ，x₂=

1

λ

F2M

=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-y₁）
-λ

F2Q

=-λ（x₂-1，y₂）=（λ-1，-λy₂）
故

F2M

=-λ

F2Q

（3）由（2）知 可取 P（λ，

4λ

），Q（

1

λ

，

4 λ

），则|PQ|=

(λ- 1 λ )2+( 4λ - 4 λ )2

=

(λ+ 1 λ )2+4(λ+ 1 λ )-12

∵λ∈[2，3]，∴λ+

1

λ

∈[

5

2

，

10

3

]，∴|PQ|∈（ 

( 5 2 )2+4( 5 2 ) -12

，

( 10 3 )2+4( 10 3 )-12

）
故|PQ|∈（

17

4

，

112

9

）