Question

如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）求证：；
（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2） 详见解析；（3）.

试题分析：（1）利用三角形的中位线定理证明；（2）证明平面，再证；（3）用向量法求解.
试题解析：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，
所以，//平面.
（2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，，
而，所以平面，又平面，所以.
（3）存在满足条件的.
依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，所，
易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，
则，又二面角的大小为，
所以，解得.
故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.