Question

已知点G是△ABC的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足||=||， (∈R)．
⑴求点C的轨迹方程；
⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足||=||，试求k的取值范围．

Answer 1

⑴设C(x, y)，则G(,)．∵(∈R)，∴GM//AB,
又M是x轴上一点，则M(, 0)．又||=||，
∴，
整理得，即为曲线C的方程．
⑵①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有||=||．
②当k≠0时，可设l的方程为y=kx＋m，
联立方程组   y=kx＋m

消去y，整理行(1＋3k²)x²＋6kmx＋3(m²－1)=0（*）
∵直线l和椭圆C交于不同两点，
∴△=(6km)²－4(1＋3k²)×( m²－1)＞0，即1＋3k²－m²＞0．         (1)   
设P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，则x₁, x₂是方程（*）的两相异实根，∴x₁＋x₂=－
则PQ的中点N(x₀, y₀)的坐标是x₀==－，y₀= kx₀＋m=，
即N(－, )，
又||=||，∴⊥，
∴k·k_AN=k·=－1，∴m=.
将m=代入(1)式,得 1＋3k²－()²＞0（k≠0），
即k²＜1，∴k∈(－1, 0)∪(0, 1)．
综合①②得，k的取值范围是(－1, 1)．

本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.