Question

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
其中，．
从而．
由于，
即．
又已知，
所以
从而椭圆的方程是．

（Ⅱ）因为的平分线平行，
所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．
由
解得．
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，
因此PC和QC的方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中
消去y并整理得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根．
从而，同理，
从而直线PQ的斜率为．
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以，
∴向量与共线．
分析：（I）由题意设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0）利用的取值范围所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．是，得到a，b的方程，求解即可；
（II）有的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证．
点评：（I）此问考查了设处点的坐标，把已知的向量关系的等式建立成坐标之间的关系式，还考查了椭圆的基本性质及求解时运用的方程的思想；
（II）此问考查了设出直线把椭圆方程与直线方程进行联立，利用根与系数的关系求出P与Q的坐标，还考查了直线的斜率公式．